Question

已知：如圖，在半徑為的⊙O內，有互相垂直的兩條弦AB，CD，它們相交于P點.

 （1）求證：PA·PB=PC·PD；

 （2）設BC的中點為F，連接FP并延長交AD于E，求證：EFAD；

 （3）如果AB=8，CD=6，求O、P兩點之間的距離.

 

Answer 1

.

（1）證明：

     ∵∠A，∠C所對的圓弧相同，

     ∴∠A =∠C .

     ∵ABCD,

∴Rt△APD∽Rt△CPB .

∴.

∴PA·PB=PC·PD.

（2）證明：

    ∵F為BC的中點，△CPB為直角三角形，

    ∴PF=FC，∠CPF =∠C .

     又∵∠A =∠C，∠DPE =∠CPF，

∴∠A =∠DPE .

∵∠A +∠D=90°，

∴∠DPE +∠D=90°.

∴EFAD . 

（3）解：作OMAB于M, ONCD于N,

∴OMPN為矩形.

連接OB，OD，OP，由垂徑定理，得AM=BM=4,CN=DN=3.

      由勾股定理，得， .

      ∴.