Question

（2009•武漢）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點D，E是邊BC的中點，連接DE．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）連接OC交DE于點F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明直線DE是⊙O的切線，只要證明∠ODE=90°即可．
（2）作OH⊥AC于點H，由tan∠ACO=OH：HC，分別求得OH，HC的值可找出其關系即可得到tan∠ACO的值．
解答：（1）證明：連接OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E點是BC的中點，
∴DE=CE=BE．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴直線DE是⊙O的切線．

（2）解：作OH⊥AC于點H，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；
∵CF=OF，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四邊形CEOD為平行四邊形，
∴CE=OD=OA=AB，
∴BA=BC，
∴∠A=45°；
∵OH⊥AD，
∴OH=AH=DH，
∴CH=3OH，
∴tan∠ACO=．
點評：此題考查了學生對全等三角形的判定方法及切線的判定等知識的掌握情況．