Question

【題目】某企業設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷．據市場調查，銷售單價是100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本．

（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；

（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）如果該企業要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價應控制在什么范圍內？（每天的總成本=每件的成本×每天的銷售量）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）當x=80時，y最大值=4500；（3）銷售單價應該控制在82元至90元之間．

【解析】

試題分析：（1）根據“利潤=（售價﹣成本）×銷售量”列出方程；

（2）把（1）中的二次函數解析式轉化為頂點式方程，利用二次函數圖象的性質進行解答；

（3）把y=4000代入函數解析式，求得相應的x值；然后由“每天的總成本不超過7000元”列出關于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通過解不等式來求x的取值范圍．

解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]

=（x﹣50）（﹣5x+550）

=﹣5x2+800x﹣27500

∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y=﹣5x2+800x﹣27500

=﹣5（x﹣80）2+4500

∵a=﹣5＜0，

∴拋物線開口向下．

∵50≤x≤100，對稱軸是直線x=80，

∴當x=80時，y最大值=4500；

（3）當y=4000時，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴當70≤x≤90時，每天的銷售利潤不低于4000元．

由每天的總成本不超過7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，

解得x≥82．

∴82≤x≤90，

∵50≤x≤100，

∴銷售單價應該控制在82元至90元之間．