Question

如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當移動三角板頂點P．
（1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由；
（2）再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B，另一直角邊PF與DC延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE=2 cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據相似三角形的性質，判定△ABP∽△DPQ列出方程求解；
（2）能根據矩形的性質，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．

解答：解：（1）設AP=xcm，則PD=（10-x）cm，
因為∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，
所以∠DPC=∠ABP，
所以△ABP∽△DPC，
則

AB

PD

=

AP

DC

，即AB•DC=PD•AP，
所以4×4=x（10-x），即x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以可以使三角板兩直角邊分別通過點B與點C，AP=2cm或8cm；

（2）能．
設AP=xcm，CQ=ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF=90°，
∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，
∴

AP

CQ

=

AB

CE

，

AP

DQ

=

AB

PD

，
∴AP•CE=AB•CQ，AP•PD=AB•DQ，
∴2x=4y，即y=

x

2

，
∴x（10-x）=4（4+y），
∵y=

x

2

，
即x²-8x+16=0，
解得x₁=x₂=4，
∴AP=4cm，
即在AP=4cm時，CE=2 cm．

點評：本題考查主要對一元二次方程的應用，而且還得知道矩形的性質，知道相似三角形的性質，可以正確判定相似三角形．