Question

【題目】問題呈現：

如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延長線于點E．求證：BE是⊙O的切線．

問題分析：

連接OB，要證明BE是⊙O的切線，只要證明OB ____ BE，由題意知∠E=90°，故只需證明OB ___ DE．

解法探究：

（1）小明對這個問題進行了如下探索，請補全他的證明思路：

如圖2，連接AD，由∠ECB是圓內接四邊形ABCD的一個外角，可證∠ECB=∠BAD，因為OB=OC，所以 __ ，因為BD=BA，所以 ______ ，利用同弧所對的圓周角相等和等量代換，得到 ____ ，所以DE∥OB，從而證明出BE是⊙O的切線．

（2）如圖3，連接AD，作直徑BF交AD于點H，小麗發現BF⊥AD，請說明理由．

（3）利用小麗的發現，請證明BE是⊙O的切線．（要求給出兩種不同的證明方法）．

Answer 1

【答案】問題分析：⊥，∥（1）∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO（2）BF⊥AD（3）證明見解析

【解析】

試題分析：問題分析：直接得出結論即可；

解法探究：（1）根據證明方法直接寫出結論；

（2）先判斷出OD=OA，再用垂徑定理即可得出結論；

（3）方法1，先判斷出AC是⊙O的直徑，進而判斷出四邊形BEDH是矩形即可；

方法2，先判斷出AH=DH，再判斷出AC是⊙O的直徑，進而判斷出OH是△ACD的中位線，即可得出DE∥OB，即可得出結論；

試題解析：問題分析：

故答案為：⊥，∥；

解法探究：

（1）故答案為：∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO；

（2）如圖3，

連接OD，

∴OD=OA，

∵BD=BA，

∴BF垂直平分AD，

即：BF⊥AD（垂徑定理），

（3）方法1，∵BF⊥AD，

∴∠BHD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

∵∠E=90°，

∴四邊形BEDH是矩形，

∴∠EBO=90°，

∴BE是⊙O的切線；

方法2，∵BF⊥AD，

∴AH=DH（垂徑定理），

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直徑，

∴AO=CO，

∴OH是△ACD的中位線，

∴OH∥DC，

即：DE∥OB，

∵∠E=90°，

∴∠EBO=90°，

∴BE是⊙O的切線．