Question

如圖，在△ABC中，BD為高，BD=8cm，CD=4cm，AD=6cm，點M、N分別為AC和AB上的動點，點M以2cm/s的速度自C向A方向作勻速運動，點N以每秒5cm/s的速度自A向B沿射線AB方向作勻速運動，MN交BD于點P． M、N兩點同時運動，當點M運動到點A時，M、N兩點停止運動，設運動的時間為t（s）．
（1）求線段AB的長；
（2）當t=1（s）時，求的值；
（3）當t為何值時，△BNP是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC中，BD為高，BD=8cm，AD=6cm，根據勾股定理的知識，即可求得AB的值；
（2）過點N作NH⊥x軸于點H，可得當t=1（s）時，AN=5，得：AH=3，CM=2，由PD∥NH，根據平行線分線段成比例定理，即可求得的值；
（3）由）=，即可求得PD=t，PB=8-t．然后分別從當點M在CD上時與當點M在DA上時去分析，即可求得答案，小心別漏解．
解答：解：（1）∵△ABC中，BD為高，BD=8cm，AD=6cm，
∴AB²=BD²+AD²=100．
∴AB=10cm．（2分）

（2）過點N作NH⊥x軸于點H，（3分）
當t=1（s）時，AN=5，得：AH=3，CM=2，
∴DH=6-3=3，DM=4-2=2，
∴MH=10-3-2=5，
∵PD∥NH，
∴==（5分）

（3）∵=，PD=NH=×4t，
∴PD=t，PB=8-t．
①當點M在CD上時，BN=10-5t，
（ⅰ）當PB=NB時，8-t=10-5t，t=．（6分）
（ⅱ）當PB=PN時，則∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾∴不成立（7分）
（ⅲ）當NB=NP時，過點N作NG⊥BD軸于點G，則BG=PG=BP=4-t，
∵GN∥DA，
∴=．
∴=，t=．（9分）
②當點M在DA上時，BN=5t-10，
（ⅰ）BP=BN，8-t=5t-10，t=．（10分）
（ⅱ）PB=PN或NB=NP，∵∠PBN＞90°，∴不成立．（11分）
∴當t=或t=或t=時，△BNP是等腰三角形．
點評：此題考查了勾股定理，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．