Question

5．已知反比例函數y₁=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數y₂=-2kx+b的圖象交于點A（1，-2）和點B，將△ABO繞點O沿逆時針方向旋轉90°得到△A₁B₁O．
（1）求k、b的值和點B的坐標．
（2）求△AB₁O的面積．

Answer 1

分析 （1）把A（1，-2）代入反比例函數y₁=$\frac{k}{x}$與一次函數y₂=-2kx+b即可求得k、b，然后聯立解析式，解方程即可求得B的坐標；
（2）根據待定系數法求得直線AB₁的解析式，從而求得與x軸的交點，進而根據S${\;}_{△A{B}_{1}O}$=S${\;}_{△{B}_{1}OC}$+S_△AOC即可求得．

解答 解：（1）∵反比例函數y₁=$\frac{k}{x}$的圖象與一次函數y₂=-2kx+b的圖象交于點A（1，-2）和點B，
∴-2=$\frac{k}{1}$，-2=-2k+b，解得k=-2，b=-6；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{x}}\\{y=4x-6}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（$\frac{1}{2}$，-4）；
（2）由題意可知：點B₁（4，$\frac{1}{2}$），
設直線AB₁的解析式為：y=mx+n（m≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-2}\\{4m+n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{6}}\\{n=-\frac{17}{6}}\end{array}\right.$
∴直線AB₁的解析式為：y=$\frac{5}{6}$x-$\frac{17}{6}$，
令y=0，則$\frac{5}{6}$x-$\frac{17}{6}$=0，解得x=$\frac{17}{5}$，
∴與x軸的交點為C（$\frac{17}{5}$，0），
∴S${\;}_{△A{B}_{1}O}$=S${\;}_{△{B}_{1}OC}$+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{17}{5}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{17}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{4}$．

點評 本題考查了反比例函數和一次函數的交點問題，坐標與圖形的變換-旋轉，待定系數法求得解析式，然后求得交點B的坐標是解題的關鍵．