Question

如圖①，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=3，在BC邊上取兩點E、F（點E在點F的左邊），以EF為邊所作等邊△PEF，頂點P恰好在AD上，直線PE、PF分別交直線AC于點G、H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）若△PEF的邊EF在線段CB上移動，試猜想：PH與BE有何數量關系？并證明你猜想的結論；
（3）若△PEF的邊EF在射線CB上移動（分別如圖②和圖③所示，CF＞1，P不與A重合），（2）中的結論還成立嗎？若不成立，直接寫出你發現的新結論．

Answer 1

分析：（1）過P作PQ垂直于BC，垂足為Q，由四邊形ABCD為矩形，得到∠B為直角，且AD平行于BC，得到PQ=AB，又三角形PEF為等邊三角形，根據“三線合一”得到∠FPQ為30°，在直角三角形FPQ中，設出QF為x，則PF=2x，由PQ的長，根據勾股定理列出關于x的方程，求出x的值，即可得到PF的長，即為等邊三角形的邊長；
（2）PH-BE=1，過E作ER垂直于AD，如圖所示，首先證明△APH為等腰三角形，在根據矩形的對邊平行得到一對內錯角相等，可得∠APE=60°，在直角三角形EPR中，∠REP=30°，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由PE求出PR，由PA=PH，則PH-BE=PA-BE=PA-AR=PR，即可得到兩線段的關系；
（3）當若△PEF的邊EF在射線CB上移動時（2）中的結論不成立，由（2）的解題思路可知當1＜CF＜2時，PH=1-BE，當2＜CF＜3時，PH=BE-1．

解答：解：（1）過P作PQ⊥BC于Q（如圖1），
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，
又∵AD∥BC，
∴PQ=AB=

3

，
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFQ=60°，
在Rt△PQF中，∠FPQ=30°，
設PF=2x，QF=x，PQ=

3

，根據勾股定理得：（2x）²=x²+（

3

）²，
解得：x=1，故PF=2，
∴△PEF的邊長為2；

（2）PH-BE=1，理由如下：
∵在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，
∴由勾股定理得AC=2

3

，
∴CD=

1

2

AC，
∴∠CAD=30°
∵AD∥BC，∠PFE=60°，
∴∠FPD=60°，
∴∠PHA=30°=∠CAD，
∴PA=PH，
∴△APH是等腰三角形，
作ER⊥AD于R（如圖2）
Rt△PER中，∠RPE=60°，
∴PR=

1

2

PE=1，
∴PH-BE=PA-BE=PR=1．

（3）結論不成立，
當1＜CF＜2時，PH=1-BE，
當2＜CF＜3時，PH=BE-1．

點評：此題綜合考查了矩形的性質，等腰三角形的判別與性質、等邊三角形的性質及直角三角形的性質．學生作第三問時，應借助第二問的結論，結合圖形，多次利用數學中等量代換的方法解決問題，這就要求學生在作幾何題時注意合理運用各小題之間的聯系．