Question

（2004•宿遷）已知拋物線y=-x²+mx-m+2．
（Ⅰ）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側，并且AB=，試求m的值；
（Ⅱ）設C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）讓y=0，利用根與系數的關系表示出較大的根減去較小的根，求解即可；
（2）在求△CMN的面積時，要結合圖象，已知條件，可以發現S_△COM=S_△CON．而△MNC的面積等于S_△COM+S_△CON．
解答：解：（1）設點A（x₁，0），B（x₂，0），則x₁，x₂是方程-x²+mx-m+2=0的兩根．
∵x₁+x₂=m，x₁•x₂=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x₁-x₂|=，
∴m²-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值為1．

（2）設M（a，b），則N（-a，-b）．
∵M、N是拋物線上的兩點，
∴
①+②得：-2a²-2m+4=0，
∴a²=-m+2，
∴當m＜2時，才存在滿足條件中的兩點M、N，
∴．
這時M、N到y軸的距離均為，
又∵點C坐標為（0，2-m），而S_△MNC=27，
∴2××（2-m）×=27，
解得m=-7．
點評：主要考查了二次函數的圖象性質與一元二次方程根與系數之間的關系，以及表達圖形面積的方法．