Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，正方形的邊長(zhǎng)是a，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PM⊥BC時(shí)，四邊形PMCN是正方形．填空：①當(dāng)AP=2PC時(shí)，四邊形PMCN的邊長(zhǎng)是_________；②當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)），四邊形PMCN的面積是__________．

（2）猜想論證

如圖3，改變四邊形ABCD的形狀為矩形，AB=a，BC=b，點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，固定點(diǎn)P，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，則=_______．

（3）拓展探究

如圖4，當(dāng)四邊形ABCD滿足條件：∠B+∠D=180°，∠EPF=∠BAD時(shí)，點(diǎn)P在AC上，PE、PF分別交BC，CD于M、N點(diǎn)，固定P點(diǎn)，使△PEF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?/span>的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①a；②；（2）；（3）見解析．

【解析】

試題分析：（1）①如圖2，∵PM⊥BC，AB⊥B，∴△PMC∽△ABC，∴=，又∵AP=2PC，∴=，即=，∴PM=a，即正方形PMCN的邊長(zhǎng)是a；

②當(dāng)AP=nPC時(shí)（n是正實(shí)數(shù)），=，∴PM=a，∴四邊形PMCN的面積=（a）2=；

（2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°，∵Rt△PEF中，∠FPE=90°，∴∠GPM=∠HPN，∴△PGM∽△PHN，∴=，由PG∥AB，PH∥AD可得，，

∵AB=a，BC=b，∴，即=，∴=；

（3）如圖4，過P作PG∥AB，交BC于G，作PH∥AD，交CD于H，則∠HPG=∠DAB，∵∠EPF=∠BAD，∴∠EPF=∠GPH，即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM，∴∠HPN=∠GPM，∵∠B+∠D=180°，∴∠PGC+∠PHC=180°，又∵∠PHN+∠PHC=180°，∴∠PGC=∠PHN，∴△PGM∽△PHN，∴=①，由PG∥AB，PH∥AD可得， ==，即=②，∴由①②可得， =．