Question

如圖，已知拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，頂點為C
（1）求拋物線的函數解析式．
（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．
（3）P是拋物線上第一象限內的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經過A（-2，0），B（-3，3）及原點O，待定系數法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標；
（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據相似三角形對應邊的比相等可以求出點P的坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
將點A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：，
解得：．
故函數解析式為：y=x²+2x．

（2）當AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，由A（-2，0）知：DE=AO=2，
若D在對稱軸直線x=-1左側，
則D橫坐標為-3，代入拋物線解析式得D₁（-3，3），
若D在對稱軸直線x=-1右側，
則D橫坐標為1，代入拋物線解析式得D₂（1，3）．
綜上可得點D的坐標為：（-3，3）或（1，3）．

（3）存在．
如圖：∵B（-3，3），C（-1，-1），
根據勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∵BO²+CO²=BC²，
∴△BOC是直角三角形，
假設存在點P，使以P，M，A為頂點的 三角形與△BOC相似，
設P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，則=，
即x+2=3（x²+2x），
得：x₁=，x₂=-2（舍去）．
當x=時，y=，即P（，），
②若△PMA∽△BOC，則=，
即：x²+2x=3（x+2），
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
當x=3時，y=15，即P（3，15）．
故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．
點評：本題考查的是二次函數的綜合題，首先用待定系數法求出拋物線的解析式，然后利用平行四邊形的性質和相似三角形的性質確定點D和點P的坐標，注意分類討論思想的運用，難度較大．