Question

如圖，已知點B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求證：△BCE≌△ACD；
（2）求證：FH∥BD．

Answer 1

分析：（1）先根據△ABC和△CDE都是等邊三角形得出BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，再由SAS定理即可得出△BCE≌△ACD；
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，可知∠CBF=∠CAH，BC=AC，再由ASA定理可知△BCF≌△ACH，可得出CF=CH，根據∠FCH=60°，可知△CHF為等邊三角形，進而可得出結論．

解答：證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．

（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
則∠CBF=∠CAH，BC=AC
又∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B、C、D在同一條直線上，
∴∠ACH=180°-∠ACB-∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵

∠CBE=∠CAH BC=AC ∠BCF=∠ACH

，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=60°，
∴△CHF為等邊三角形
∴∠FHC=∠HCD=60°，
∴FH∥BD．

點評：本題考查的是等邊三角形的判定與性質及全等三角形的判定與性質，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關鍵．