Question

如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax²﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．

（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：

二次函數(shù)綜合題

分析：

（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）分點(diǎn)P在CD的上面和點(diǎn)P在CD的下面兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：

（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），

∴AB=6+4=10，AC==10，

∴AB=AC，

由翻折可得，AB=BD，AC=CD，

∴AB=BD=CD=AC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴CD∥AB，

∵C（0，8），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）；

（2）∵y=ax²﹣10ax+c，

∴對(duì)稱軸為直線x=﹣=5．

設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，

∴，

解得．

∴y=﹣2x+8．

∵點(diǎn)M在直線y=﹣2x+8上，

∴n=﹣2×5+8=﹣2．

又∵拋物線y=ax²﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和M，

∴，

解得．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x²﹣4x+8；

（3）存在．

△PBD與△PCD的面積相等，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（，），P₂（﹣5，38）．

點(diǎn)評(píng)：

考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，對(duì)稱軸公式，待定系數(shù)法的運(yùn)用，等底等高的三角形面積相等，分類思想的運(yùn)用．