Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點，且BP=2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P點，然后將這個角繞P點轉動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E．
（1）求證：△BPD∽△CEP；
（2）是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊對等角的性質可得∠B=∠C，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理求出∠EPC=∠BDP，即可得證；
（2）過點A作AH⊥BC于點H，因為∠DPE=∠B≠90°，所以，分①∠PDE=90°時，利用∠ABH與∠DPE的余弦值相等列式求出=，再根據相似三角形對應邊成比例可得=，然后代入數據進行計算即可得解；②∠PED=90°時，利用∠ABH與∠DPE的余弦值相等列式求出=，再根據相似三角形對應邊成比例可得=，然后代入數據進行計算即可得解．
解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DPC=∠DPE+∠EPC=∠B+∠BDP，
∴∠EPC=∠BDP，
∴△BPD∽△CEP；

（2）解：存在．理由如下：
過點A作AH⊥BC于點H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=×6=3，
∵∠DPE=∠B≠90°，
∴①如圖1，若∠PDE=90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cos∠ABH=cos∠DPE===，
∵△PBD∽△PCE，
∴=，
∵BP=2，
∴PC=BC-BP=6-2=4，
∴=，
解得BD=；
②如圖2，∠PED=90°時，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cos∠ABH=cos∠DPE===，
∵△PBD∽△PCE，
∴==，
∵PC=4，
∴=，
解得BD=＞5（舍去），
綜上所述，BD的長為．
點評：本題是相似三角形綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質，等角的銳角三角函數值相等，（2）注意要分情況討論求解．