Question

如圖，拋物線與坐標軸分別交于點A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均為整數，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，以AB為直徑作圓R，過拋物線上一點P作直線PD切圓R于D，并與圓R的切線AE交于點E，連接DR并延長交圓R于點Q，連接AQ，AD．
（1）求拋物線所對應的函數關系式；
（2）若四邊形EARD的面積為4，求直線PD的函數關系式；
（3）拋物線上是否存在點P，使得四邊形EARD的面積等于△DAQ的面積？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據abc=9，a、b、c均為整數，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，得出A、B、C的坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式，進而可用配方法求出其頂點坐標；
（2）連接ER，過D作DF⊥x軸于F；由于ED、EA都是⊙O的切線，根據切線長定理可得EA=ED，易證得△EAR≌△EDR則它們的面積相等，由此可得到S_△EAR=2，即可求出EA的長，也就得到了E點的坐標；在Rt△EAR中，根據EA、AR的值，即可求出∠ERA的度數，進而可求出∠DRF的度，從而在Rt△DRF中，通過解直角三角形求出RF、DF的長，由此求得D點坐標，用待定系數法即可求出直線DP的解析式；（需注意的是AE的長為正值，但是E點的縱坐標有正負兩種情況，所以要分類討論）
（3）在△DAQ中，由于DQ是⊙M的直徑，所以DR=QR，則△DAR和△RAQ等底同高，所以面積相等，即△DAQ的面積是△DAR的2倍；在（2）題中已經求出四邊形EARD的面積是△EAR的2倍，若四邊形EARD的面積等于△DAQ的面積，則△DAR、△EAR的面積相等，這兩個三角形共用底邊AR，所以它們的高相同，由此可證得PD與x軸平行，即PD的解析式為y=±2，聯立拋物線的解析式即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線與坐標軸分別交于點A（a，0），B（b，0），C（0，c），其中abc=9，a、b、c均為整數，且a＜0，b＞0，c＜0，|a|＜|b|=|c|，
∴b，c互為相反數，|b|=|c|≤3，
∴b=3，c=-3，a=-1，
所以拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）兩點，
設拋物線的函數關系式為：y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
所以，拋物線的函數關系式為：y=x²-2x-3，
又∵y=（x-1）²-4，
因此，拋物線的頂點坐標為（1，-4）；

（2）連接ER，∵EA、ED是⊙R的兩條切線，
∴EA=ED，EA⊥AR，ED⊥RD，
在Rt△EAR和Rt△EDR中，
，
∴△EAR≌△EDR（HL），
又∵四邊形EARD的面積為4，
∴S_△EAR=2，
∴AR•AE=2，
又∵AR=2，
∴AE=2，
因此，點E的坐標為E₁（-1，2）或E₂（-1，-2），
當E點在第二象限時，切點D在第一象限，
在直角三角形EAR中，tan∠ERA===，
∴∠ERA=60°，
∴∠DRB=60°，
過切點D作DF⊥AB，垂足為點F，
∴RF=1，DF=，
因此，切點D的坐標為（2，），
設直線PD的函數關系式為y=kx+b，
將E（-1，2），D（2，）的坐標代入得，
，
解之，得：，
所以，直線PD的函數關系式為：y=-x+，
當E點在第三象限時，切點D在第四象限，
同理可求：切點D坐標為（2，-），
直線PD的函數關系式為y=x-，
因此，直線PD的函數關系式為y=-x+或y=x-；

（3）若四邊形EARD的面積等于△DAQ的面積，
又∵S_{四邊形EARD}=2S_△EAR，S_△DAQ=2S_△ARD，
∴S_△ARD=S_△EAR，
∴E、D兩點到x軸的距離相等，
∵PD與⊙R相切，
∴點D與點E在x軸同側，
∴切線PD與x軸平行，
此時切線PD的函數關系式為y=2或y=-2，
當y=2時，由y=x²-2x-3得，x=1±；
當y=-2時，由y=x²-2x-3得，x=1±，
故滿足條件的點P的位置有4個，分別是P₁（1+，2）、P₂（1-，2）、P₃（1+，-2）、P₄（1-，-2）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、切線的性質、切線長定理、全等三角形的判定和性質、圖形面積的求法等重要知識，同時還考查了分類討論的數學思想，綜合性強，難度較大．