Question

（10分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，

（1）求證：AC2=AB•AD；

（2）求證：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求的值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由相似三角形的判定證得△ADC∽△ACB，根據相似三角形的性質得AD：AC=AC：AB；

（2）證得∠DAC=∠ECA，根據平行線的判定得CE∥AD；

（3）由CE∥AD得到△AFD∽△CFE，應用相似三角形的性質得AD：CE=AF：CF，代入數值進行計算即可.

試題解析：（1）證明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC2=AB•AD；

（2）證明：∵E為AB的中點，

∴CE=AB=AE，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

（3）【解析】
∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE=AB，

∴CE=×6=3，

∵AD=4，

∴，

∴．

考點：相似三角形的判定和性質.