Question

如圖，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，點A、C的坐標分別為（0，1）、（2，4）．點P從點A出發，沿A?B?C以每秒1個單位的速度運動，到點C停止；點Q在x軸上，橫坐標為點P的橫、縱坐標之和．拋物線y=-

1

4

x2+bx+c經過A、C兩點．過點P作x軸的垂線，垂足為M，交拋物線于點R．設點P的運動時間為t（秒），△PQR的面積為S（平方單位）．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）分別求t=1和t=4時，點Q的坐標；
（3）當0＜t≤5時，求S與t之間的函數關系式，并直接寫出S的最大值．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線過A、C兩點，因此可根據A、C的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）當t=1時，P在AB上，AP=1因此P點的坐標為（1，1）；Q點坐標為（2，0）．
當t=4時，此時P在BC上，且BP=4-AB=2，P點的坐標為（2，3）；Q點的坐標為（5，0）
（3）本題要分兩種情況進行討論：
①當P在AB上時，即當0＜t≤2時，AP=t，OQ=t+OA=t+1，MQ=t+1-t=1，將P的橫坐標即t代入拋物線的解析式中即可求出R的縱坐標的值即RM的長．進而可求出PR的長，由此可根據S_△RPQ=

1

2

RP•MQ=

1

2

PR，求出S與t的函數關系式，進而可根據函數的性質求出S的最大值．
②當P在BC上時，即當2＜t≤5時，BP=t-AB=t-2，PM=t-AB+OA=t-1．而此時R與C重合，因此RM=4，因此RP=5-t，而
QM=OQ-AB=2+（t-2+1）-2=t-1．然后根據①的方法即可求出S的最大值．

解答：解：（1）由拋物線經過點A（0，1），C（2，4），
得

c=1 - 1 4 ×22+2b+c=4

，
解得

b=2 c=1

，
∴拋物線對應的函數關系式為：y=-

1

4

x²+2x+1．

（2）當t=1時，P點坐標為（1，1），
∴Q點坐標為（2，0）．
當t=4時，P點坐標為（2，3），
∴Q點坐標為（5，0）．

（3）∵0＜t≤5，
當0＜t≤2時，S=

1

2

（-

1

4

t²+2t+1-1）×1，
S=-

1

8

t²+t=-

1

8

（t-4）²+2，
∵t=4不在0＜t≤2中，
∴當t=2時（如圖所示），S的最大值為1.5；
當2＜t≤5時，S=

1

2

（5-t）（2+t-2+1-2），
S=-

1

2

t²+3t-

5

2

=-

1

2

（t-3）²+2，
因此當t=3時，S的最大值為2．
綜上所述，S的最大值為2．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的應用；在（3）題中要根據P點的不同位置進行分類討論，不要漏解．