Question

（2009•鄂爾多斯）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點D，且DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠C=30°，CE=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據等腰三角形的性質或平行線的性質易得OD⊥DE，故DE與⊙O相切；
（2）本題方法較多，需分析圖形，通過相似三角形的性質或三角函數的定義求出AB或圓的半徑的值即可．
解答：（1）證明：
證法一：連接OD（1分）
∵點D為BC的中點，點O為AB的中點
∴OD為△ABC的中位線
∴OD∥AC（2分）
∴∠DEC=∠ODE
∵DE⊥AC
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD（3分）
∴DE是⊙O的切線（4分）
證法二：連接OD，AD（1分）
∵AB為直徑
∴∠BDA=90°，∠CDA=90°
∵∠C=30°
∴∠CAD=60°
∵DE⊥AC
∴∠AED=90°
∴∠ADE=30°（2分）
∵點D為BC的中點，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD=60°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=60°（3分）
∴∠ODE=90°
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切線；（4分）

（2）解：
解法一：連接AD
∵AB為直徑
∴∠BDA=90°
∵DE⊥AC
∴∠CED=90°
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10（5分）
∵點D為BC的中點
∴BD=CD=10
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°（6分）
在Rt△ABD中．cos∠B=，cos∠30°=，AB=（7分）
∴⊙O的半徑為（8分）
解法二：連接AD，過O點作OF⊥BD，垂足為F（5分）
∵AB為直徑
∴∠BDA=90°
∵D是BC的中點
∴BD=CD
∴AC=AB
∴∠B=∠C=30°（6分）
在Rt△CED中，cos∠C=，cos30°=，CD=10
∴DB=CD=10，∴BF=5（7分）
在Rt△BFO中，cos∠B=，cos30°=，OB=（8分）
即⊙O的半徑為．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．