Question

如圖，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D．

(1)尺規作圖：過A、D、C三點作⊙O(只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法)；

(2)求證：BC是過A、D、C三點的圓的切線；

(3)若過A、D、C三點的圓的半徑為，則線段BC上是否存在一點P，使得以P、D、B為頂點的三角形與△BCO相似．若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作出圓心O(即AD的中點)，以點O為圓心，OA長為半徑作圓． 　　(2)證明：因為CD⊥AC， 　　所以∠ACD＝90°． 　　所以AD是⊙O的直徑． 　　連接OC， 　　因為∠A＝∠B＝30°， 　　所以∠ACB＝120°． 　　又因為OA＝OC， 　　所以∠ACO＝∠A＝30°． 　　所以∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°． 　　所以BC⊥OC． 　　所以BC是⊙O的切線． 　　(3)存在． 　　因為∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°， 　　所以∠BCD＝∠B，即DB＝DC． 　　又因為在Rt△ACD中，DC＝AD·sin30°＝， 　　所以BD＝． 　　①當△BP1D∽△BCO時，∠DP1B＝∠OCB＝90°． 　　在Rt△BP1D中， 　　DP1＝BD·sin30°＝． 　　②當△BDP2∽△BCO時，∠P2DB＝∠OCB＝90°． 　　在Rt△BDP2中，DP2＝BD·tan30°＝1．