Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（a，3），點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，若使得△AOP是等腰三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)，則滿足條件的a的值為$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使△AOP是等腰三角形，可以分兩種情況考慮：當(dāng)OA是底邊時(shí)，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)交點(diǎn)；當(dāng)OA是腰時(shí)，則分別以點(diǎn)O、點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)交點(diǎn)，而已知點(diǎn)A（a，3）在一、二象限，且使得△AOP是等腰三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)，所以這樣的點(diǎn)使得△AOP是等邊三角形，這樣的點(diǎn)在第一象限有兩個(gè)，在第二象限有兩個(gè)．

解答 解：如圖∵A（a，3），
∴點(diǎn)A在第一，二象限，
當(dāng)點(diǎn)A在第一象限，△A₁OP₁，△A₂OP₂為等邊三角形時(shí)，
使得△AOP是等腰三角形的點(diǎn)P恰有6個(gè)，
∵△A₁P₁O是等邊三角形，
∴∠A₁OP₁=60°，
∴∠P₂OA₁=30°OB=3，
∴A₁B=$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∵△A₂OP₂是等邊三角形，
∴∠P₂OA₂=60°，OP₂=6，
∴A₂B=3$\sqrt{3}$，∴a=3，
當(dāng)點(diǎn)A在第二象限，存在符合條件的點(diǎn)與第一象限的點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴a=-$\sqrt{3}$，或a=-3$\sqrt{3}$，
∴滿足條件的a的值由4個(gè)，
故答案為：$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰三角形的定義，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解決．