Question

已知△ABC中，M為BC的中點，直線m繞點A旋轉，過B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．

（1）當直線m經過B點時，如圖1，易證EM=CF．（不需證明）

（2）當直線m不經過B點，旋轉到如圖2、圖3的位置時，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

       解：（1）如圖1，

∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，

∴ME∥CF，

∵M為BC的中點，

∴E為BF中點，

∴ME是△BFC的中位線，

∴EM=CF．

（2）圖2的結論為：ME=（BD+CF），

圖3的結論為：ME=（CF﹣BD）．

圖2的結論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠DBM=∠KCM

在△DBM和△KCM中

，

∴△DBM≌△KCM（ASA），

∴DB=CK   DM=MK

由題意知：EM=FK，

∴ME= （CF+CK）= （CF+DB）   

圖3的結論證明如下：連接DM并延長交FC于K

又∵BD⊥m，CF⊥m

∴BD∥CF

∴∠MBD=∠KCM

在△DBM和△KCM中

，

∴△DBM≌△KCM（ASA）

∴DB=CK，DM=MK，

由題意知：EM=FK，

∴ME=（CF﹣CK）=（CF﹣DB）．