Question

【題目】如圖，點O是線段AH上一點，AH＝3，以點O為圓心，OA的長為半徑作⊙O，過點H作AH的垂線交⊙O于C，N兩點，點B在線段CN的延長線上，連接AB交⊙O于點M，以AB，BC為邊作ABCD．

（1）求證：AD是⊙O的切線；

（2）若OHAH，求四邊形AHCD與⊙O重疊部分的面積；

（3）若NHAH，BN，連接MN，求OH和MN的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）OH，MN．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可知AD∥BC，證明OA⊥AD，又因為OA為半徑，即可證明結論；
（2）利用銳角三角函數先求出∠OCH=30°，再求出扇形OAC的面積，最后求出△OHC的面積，兩部分面積相加即為重疊部分面積；

（3）設⊙O半徑OA=r=OC，OH=3-r，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出半徑r=，推出OH=，再在Rt△ABH和Rt△ACH中利用勾股定理分別求出AB，AC的長，最后證△BMN∽△BCA，利用相似三角形對應邊的比相等即可求出MN的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∵∠AHC＝90°，

∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，

又∵OA為半徑，

∴AD是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OC，

∵OHOA，AH＝3，

∴OH＝1，OA＝2，

∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OHOC，

∴∠OCH＝30°，

∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，

∴S扇形OAC，

∵CH，

∴S△OHC1，

∴四邊形ABCD與⊙O重疊部分的面積＝S扇形OAC+S△OHC；

（3）設⊙O半徑OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，

在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，

∴（3﹣r）2+12＝r2，

∴r，則OH，

在Rt△ABH中，AH＝3，BH1，則AB，

在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC，

在△BMN和△BCA中，

∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，

∴△BMN∽△BCA，

∴即，

∴MN，

∴OH，MN．