Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．

（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長．

（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值．

（3）當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

Answer 1

解：（1）∵點P與點B重合，點B的坐標是（2，1），

∴點P的坐標是（2，1）．

∴PA的長為2．

（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．

∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，

∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°．

∵∠AOC=90°，

∴∠POC=45°．

∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．

∴∠NPM=90°．

∵∠APC=90°．

∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM．

在△ANP和△CMP中，

∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC．

∴PA：PC的值為1：1．

（3）①若點P在線段OB的延長線上，

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，

PM與直線AC的交點為F，如圖2所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP∽△CMP．

∴．

∵∠ACE=∠AEC，

∴AC=AE．

∵AP⊥PC，

∴EP=CP．

∵PM∥y軸，

∴AF=CF，OM=CM．

∴FM=OA．

設OA=x，

∵PF∥OA，

∴△PDF∽△ODA．

∴

∵PD=2OD，

∴PF=2OA=2x，FM=x．

∴PM=x．

∵∠APC=90°，AF=CF，

∴AC=2PF=4x．

∵∠AOC=90°，

∴OC=x．

∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，

∴四邊形PMON是矩形．

∴PN=OM=x．

∴PA：PC=PN：PM=x：x=．

②若點P在線段OB的反向延長線上，

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，

PM與直線AC的交點為F，如圖3所示．

同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x．

∴PN=OM=OC=x．

∴PA：PC=PN：PM=x：x=．

綜上所述：PA：PC的值為或．