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已知有限張卡片,每張卡片上各寫(xiě)有一個(gè)小于30的正數(shù),所有卡片上數(shù)的和為1080.現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先從這些卡片中取出第一批卡片,其數(shù)字之和為S1,滿足S1≤120,且S1要盡可能地大;然后在取出第一批卡片后,對(duì)余下的卡片按第一批的取卡要求構(gòu)成第二批卡片(其數(shù)字之和為S2);如此繼續(xù)構(gòu)成第三批(其數(shù)字之和為S3);第四批(其數(shù)字之和為S4);…直到第N批(其數(shù)字之和為SN)取完所有卡片為止.
(1)判斷S1,S2,…,SN的大小關(guān)系,并指出除第N批外,每批至少取走的卡片數(shù)為多少?
(2)當(dāng)n=1,2,3,…,N-2時(shí),求證:
(3)對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片,證明:N≤11.
【答案】分析:(1)因?yàn)橄热?shù)字之和要盡可能地大,剩下的數(shù)都不大于前面取出的數(shù),由此解答即可;
(2)求出取出第n批后,第n+1批卡片還沒(méi)取完,此時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于120-Sn+1,余下數(shù)之和更大于120-Sn+1,再利用所有卡片上數(shù)的和為1080列出不等式解答即可;
(3)利用反證法法,結(jié)合(2)的結(jié)論,兩種情況矛盾,解決問(wèn)題.
解答:(1)解:對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片,滿足S1≥S2≥…≥SN
假設(shè)每批取出卡片不多于3張,則這3張卡片上的數(shù)之和不大于90,而剩下的每個(gè)數(shù)不大于30,
由已知條件知,應(yīng)該選4張,與假設(shè)矛盾,除第N批外,每批至少取走的卡片數(shù)為4張.

(2)證明:當(dāng)取出第n批后,因?yàn)閚=1,2,3,…,N-2,此時(shí)第n+1批卡片還沒(méi)取完,
此時(shí)余下的每個(gè)數(shù)必大于120-Sn+1,余下數(shù)之和更大于120-Sn+1
即1080-(S1+S2+…+Sn+1)>120-Sn+1
由此可得S1+S2+…+Sn<960,
因?yàn)閚Sn≤S1+S2+…+Sn,從而

(3)證明:假設(shè)N>11,即第11批卡片取走后,還有卡片沒(méi)被分完,由已知可知余下的每個(gè)數(shù)都大于120-S11
且120-S11≥120-S10,故余下的每個(gè)數(shù)
因?yàn)榈?1組卡片中至少含有4張,所以第11組卡片上的所有數(shù)之和S11大于24×4=96,從而S10≥S11>96,
這與(2)中的S10<96矛盾,所以N≤11.
點(diǎn)評(píng):此題考查數(shù)的推理與論證以及利用反證法證明問(wèn)題的結(jié)論.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知有限張卡片,每張卡片上各寫(xiě)有一個(gè)小于30的正數(shù),所有卡片上數(shù)的和為1080.現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先從這些卡片中取出第一批卡片,其數(shù)字之和為S1,滿足S1≤120,且S1要盡可能地大;然后在取出第一批卡片后,對(duì)余下的卡片按第一批的取卡要求構(gòu)成第二批卡片(其數(shù)字之和為S2);如此繼續(xù)構(gòu)成第三批(其數(shù)字之和為S3);第四批(其數(shù)字之和為S4);…直到第N批(其數(shù)字之和為SN)取完所有卡片為止.
(1)判斷S1,S2,…,SN的大小關(guān)系,并指出除第N批外,每批至少取走的卡片數(shù)為多少?
(2)當(dāng)n=1,2,3,…,N-2時(shí),求證:Sn
960n

(3)對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片,證明:N≤11.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知有限張卡片,每張卡片上各寫(xiě)有一個(gè)小于30的正數(shù),所有卡片上數(shù)的和為1080.現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先從這些卡片中取出第一批卡片,其數(shù)字之和為S1,滿足S1≤120,且S1要盡可能地大;然后在取出第一批卡片后,對(duì)余下的卡片按第一批的取卡要求構(gòu)成第二批卡片(其數(shù)字之和為S2);如此繼續(xù)構(gòu)成第三批(其數(shù)字之和為S3);第四批(其數(shù)字之和為S4);…直到第N批(其數(shù)字之和為SN)取完所有卡片為止.
(1)判斷S1,S2,…,SN的大小關(guān)系,并指出除第N批外,每批至少取走的卡片數(shù)為多少?
(2)當(dāng)n=1,2,3,…,N-2時(shí),求證:數(shù)學(xué)公式
(3)對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片,證明:N≤11.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知有限張卡片,每張卡片上各寫(xiě)有一個(gè)小于30的正數(shù),所有卡片上數(shù)的和為1080.現(xiàn)將這些卡片按下列要求一批一批地取走(不放回)直至取完.首先從這些卡片中取出第一批卡片,其數(shù)字之和為S1,滿足S1≤120,且S1要盡可能地大;然后在取出第一批卡片后,對(duì)余下的卡片按第一批的取卡要求構(gòu)成第二批卡片(其數(shù)字之和為S2);如此繼續(xù)構(gòu)成第三批(其數(shù)字之和為S3);第四批(其數(shù)字之和為S4);…直到第N批(其數(shù)字之和為SN)取完所有卡片為止.
(1)判斷S1,S2,…,SN的大小關(guān)系,并指出除第N批外,每批至少取走的卡片數(shù)為多少?
(2)當(dāng)n=1,2,3,…,N-2時(shí),求證:Sn
960
n

(3)對(duì)于任意滿足條件的有限張卡片,證明:N≤11.

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