Question

已知有限張卡片，每張卡片上各寫有一個小于30的正數，所有卡片上數的和為1080．現將這些卡片按下列要求一批一批地取走（不放回）直至取完．首先從這些卡片中取出第一批卡片，其數字之和為S₁，滿足S₁≤120，且S₁要盡可能地大；然后在取出第一批卡片后，對余下的卡片按第一批的取卡要求構成第二批卡片（其數字之和為S₂）；如此繼續構成第三批（其數字之和為S₃）；第四批（其數字之和為S₄）；…直到第N批（其數字之和為S_N）取完所有卡片為止．
（1）判斷S₁，S₂，…，S_N的大小關系，并指出除第N批外，每批至少取走的卡片數為多少？
（2）當n=1，2，3，…，N-2時，求證：；
（3）對于任意滿足條件的有限張卡片，證明：N≤11．

Answer 1

（1）解：對于任意滿足條件的有限張卡片，滿足S₁≥S₂≥…≥S_N；
假設每批取出卡片不多于3張，則這3張卡片上的數之和不大于90，而剩下的每個數不大于30，
由已知條件知，應該選4張，與假設矛盾，除第N批外，每批至少取走的卡片數為4張．

（2）證明：當取出第n批后，因為n=1，2，3，…，N-2，此時第n+1批卡片還沒取完，
此時余下的每個數必大于120-S_n+1，余下數之和更大于120-S_n+1，
即1080-（S₁+S₂+…+S_n+1）＞120-S_n+1，
由此可得S₁+S₂+…+S_n＜960，
因為nS_n≤S₁+S₂+…+S_n，從而；

（3）證明：假設N＞11，即第11批卡片取走后，還有卡片沒被分完，由已知可知余下的每個數都大于120-S₁₁，
且120-S₁₁≥120-S₁₀，故余下的每個數，
因為第11組卡片中至少含有4張，所以第11組卡片上的所有數之和S₁₁大于24×4=96，從而S₁₀≥S₁₁＞96，
這與（2）中的S₁₀＜96矛盾，所以N≤11．
分析：（1）因為先取數字之和要盡可能地大，剩下的數都不大于前面取出的數，由此解答即可；
（2）求出取出第n批后，第n+1批卡片還沒取完，此時余下的每個數必大于120-S_n+1，余下數之和更大于120-S_n+1，再利用所有卡片上數的和為1080列出不等式解答即可；
（3）利用反證法法，結合（2）的結論，兩種情況矛盾，解決問題．
點評：此題考查數的推理與論證以及利用反證法證明問題的結論．