Question

已知平面直角坐標系中兩定點、，拋物線過點A，B，與y交于C點，點P（m，n）為拋物線上一點．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；
（2）當∠APB為鈍角時，求m的取值范圍；
（3）當∠PAB=∠ABC時，求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線過點A，B，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為：.
∴C．
（2）以AB為直徑作圓M，與y軸交于點P.則拋物線在圓內的部分，能使∠APB為鈍角，
∴M（，0），⊙M的半徑=．
∵P是拋物線與y軸的交點，
∴OP=2，
∴MP=
∴P在⊙M上，
∴由拋物線的對稱性可知，，
∴當-1＜m＜0或3＜m＜4時，∠APB為鈍角．         
（3）在Rt△OBC中，.
第一種情況：過A作AP∥BC，交拋物線于點P .

∴∠PAB=∠ABC.
過P作PQ⊥AB于Q，
∴.
∵P（m，n）,
∴PQ=n，AQ=m+1
∴.
∴.
解得
∴ 
第二種情況：點P關于x軸的對稱點的坐標為
∴直線AP″的解析式為
∴解得
∴ 
∴

解析試題分析：（1）將A點，B點坐標代入解析式，即可求出解析式，可得 C點坐標；（2）以AB為直徑作圓M，與y軸交于點P.因為AB為直徑，所以當拋物線上的點P在⊙C的內部時，滿足∠APB為鈍角，根據題意可證得P在⊙M上，由拋物線的對稱性可知，，可得-1＜m＜0，或3＜m＜4；（3）根據題意分兩種情況進行討論，即可得出答案.
考點：二次函數綜合題．
點評：本題是二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是熟練掌握待定系數法求二次函數解析式，學生還要熟練掌握數形結合思想、分類討論思想的綜合應用.本題綜合性強，有一定的難度.