Question

如圖，在直角坐標系中，以x軸上一點P（1，0）為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點，連接CP，⊙P的半徑為2．
（1）寫出A、B、D三點坐標；
（2）若過弧CB的中點Q作⊙P的切線MN交x軸于M，交y軸于N，求直線MN的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)垂徑定理求出OD=OC，即可得出答案；
（2）連接PQ，求出∠CPO，求出∠QPM，求出PM，得出M的坐標，求出MN=2ON，根據(jù)勾股定理求出ON，得出N的坐標，設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b，把M、N的坐標代入求出即可．

解答：（1）解：∵P（1，0），⊙P的半徑是2，
∴OA=2-1=1，OB=2+1=3，
在Rt△COP中，PC=2，OP=1，由勾股定理得：OC=

3

，
由垂徑定理得：OD=OC=

3

，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，

3

），D（0，-

3

）．

（2）解：連接PQ，
在Rt△COP中sin∠CPO=

3

2

，
∴∠CPO=60°，
∵Q為弧BC的中點，
∴∠CPQ=∠BPQ=

1

2

（180°-60°）=60°，
∵MN切⊙P于Q，
∴∠PQM=90°，
∴∠QMP=30°，
∵PQ=2，
∴PM=2PQ=4，
在Rt△MON中，MN=2ON，
∵MN²=ON²+OM²，
∴（2ON）²=ON²+（1+4）²，
∴ON=

5 3

3

，
∴M（5，0），N（0，

5 3

3

），
設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=5k+b 5 3 3 =b

，
解得：k=-

3

3

，b=

5 3

3

，
∴直線MN的解析式是y=-

3

3

x+

5 3

3

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形等知識點的運用，關(guān)鍵是求出M、N的坐標，用的數(shù)學(xué)思想是方程思想，題目比較好，難度也適中．