Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖1，將若干個邊長為 的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA、OC分別落在y軸的正半軸和x軸的負半軸上，將這些正方形順時針繞點O旋轉135°得到相應矩形OA′B′C′，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）過點O、B′、C′．
（1）如圖2，當正方形個數為1時，填空：點B′坐標為______，點C′坐標為______，二次函數的關系式為______，此時拋物線的對稱軸方程為______；
（2）如圖3，當正方形個數為2時，求y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸；
（3）當正方形個數為2011時，求y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸；
（4）當正方形個數為n個時，請直接寫出：用含n的代數式來表示y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據正方形的性質求出對角線的長，然后根據旋轉角是135°可知點C′在x軸上，從而求出點B′、C′的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式，根據對稱軸公式求解；
（2）先求出點B′、C′的坐標，再利用待定系數法求出a、b的關系，然后利用對稱軸解析式解答；
（3）求出點B′、C′的坐標，再利用待定系數法求出a、b的關系，然后利用對稱軸解析式解答；
（4）根據（2）與（3）的規律，求出點B′、C′的坐標，再利用待定系數法求出a、b的關系，然后利用對稱軸解析式解答即可．
解答：解：（1）∵正方形的邊長為，
∴對角線為×=2，
∵旋轉角為135°，
∴點B′在x軸上，
∴點B′（2，0），
根據正方形的性質，點C′（1，1），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點O、B′、C′，
∴，
解得，
∴二次函數關系式為y=-x²+2x，
對稱軸為直線x=-=1，
即直線x=1；
故答案為：（2，0）；（1，1）；y=-x²+2x；直線x=1．

（2）正方形個數為2時，B′（3，1），C′（2，2），
∴，
整理得，7a=-2b，
∴=-，
拋物線對稱軸為直線x=-=-×（-）=；

（3）正方形個數為2011時，B′（2012，2010），C′（2011，2011），
∴，
整理得，6034a=-2b，
∴=-3017，
對稱軸為直線x=-=-×（-3017）=；

（4）正方形個數為n個時，B′（n+1，n-1），C′（n，n），
∴，
整理得，（3n+1）a=-2b，
∴=-，
對稱軸為直線x=-=-×（-）=．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，待定系數法的思想以及待定系數法求二次函數解析式，根據規律確定出點B′、C′的坐標是解題的關鍵，也是本題的難點．