Question

如圖，Rt△ADE是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到的，連接CE交斜邊AB于點F，CE 的延長線交BD于點G．
（1）試說明∠ACE=∠ABD；
（2）設∠ABC=α，∠CAE=β，試探索α、β 滿足什么關系時，△ACF與△GBF是全等三角形，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵Rt△ADE是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉得到，
∴旋轉角=∠CAE=∠BAD，Rt△ADE≌Rt△ABC，
∴AC=AE，AB=AD，
在△ACE中，∠ACE=（180°-∠CAE），
在△ABD中，∠ABD=（180°-∠BAD），
∴∠ACE=∠ABD；

（2）解：∵△ACF≌與△GBF，∠ACE和∠ABD是對應角，∠AFC和∠GFB是對頂角，
∴BF=CF，
∴∠BCF=∠ABC=α，
又∵∠ACE=（180°-∠CAE）=（180°-β），
∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=α+（180°-β）=90°，
整理得，2α=β．
分析：（1）根據旋轉角可得∠CAE=∠BAD，根據旋轉的性質可得Rt△ADE和Rt△ABC全等，根據全等三角形對應邊相等可得AC=AE，AB=AD，然后根據等腰三角形兩底角相等即可得證；
（2）根據全等三角形的性質，△ACF與△GBF是全等三角形時，BF=CF，再根據等邊對等角的性質可得∠BCF=∠ABC，再用β表示出∠ACF，然后根據∠ACB是直角列式整理即可得解．
點評：本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟記各性質與判定是解題的關鍵．