Question

如圖，Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉而成，點B的對應點是E，點A的對應點是D，點B、C的坐標分別為（3，0），（1，4）．
（1）寫出點E的坐標，并利用尺規作圖直接在圖中作出旋轉中心Q（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求直線AE對應的函數關系式；
（3）將△ADE沿垂直于x軸的線段PT折疊，（點T在x軸上，點P在AE上，P與A、E不重合）如圖，使點A落在x軸上，點A的對應點為點F．設點T的坐標為（x，0），△PTF與△ADE重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當x為何值時，S的面積最大？最大值是多少？
③是否存在這樣的點T，使得△PEF為直角三角形？若存在，直接寫出點T的坐標；若不存在，請說有理由．

Answer 1

解：（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋轉而成，點B的對應點是E，點A的對應點是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E點坐標為（5，2）．
連接BE，作出線段AD與線段BE的垂直平分線，它們的交點即為Q；

（2）設直線AE對應的函數關系式為y=kx+b，
∵A（1，0），E（5，2），
∴，解得，
∴直線AE對應的函數關系式為y=x-；

（3）①分兩種情況：
（i）當點F在AD之間時，重疊部分是△PTF，如圖．
∵點P在AE：y=x-上，PT⊥x軸，點T的坐標為（x，0），
∴PT=x-．
∵OT=x，OA=1，
∴AT=OT-OA=x-1，
∴TF=AT=x-1．
∵S_△PTF=TF•PT=AT•PT=（x-1）•（x-）=（x-1）²，
∴S=x²-x+．
∵當F與D重合時，AT=AD=2，
∴1＜x≤3；
（ii）當點F在點D的右邊時，重疊部分是梯形PTDH．
∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
∴△FDH∽△ADE，
∴，
∴HD=DF=[2（x-1）-4]=x-3，
∴S_梯形PTDH=（PT+HD）•TD=（x-+x-3）•（5-x）=-x²+x-，
當T與D重合時，點F的坐標是（9，0），
∴3＜x＜5．
綜上所述，S=；

②（i）當1＜x≤3時，∵S=（x-1）²，
∴S隨x的增大而增大，
∴當x=3時，S有取大值，且最大值是S=（3-1）²=1；
（ii）當3＜x＜5時，∵S=-x²+x-=-（x-）²+，
∴當x=時，S有最大值，且最大值是；
綜上所述，當x=時，S有最大值，且最大值是S=；

③存在這樣的點T（，0）和（，0），能夠使得△PEF為直角三角形．
分兩種情況：
（i）當△PFE以點E為直角頂點時，如圖，作EF⊥AE交x軸于F．
∵△AED∽△EFD，
∴，
∴DF=DE=1，
∴點F（6，0），
∴點T（，0）；
（ii）當△P′F′E以點F′為直角頂點時，如圖．
∵△AED∽△EF′D，
∴==，
∴DF′=DE=1，
∴點F′（4，0），
∴點T（，0）．
綜上（i）、（ii）知，滿足條件的點T坐標為（，0）和（，0）．
分析：（1）根據旋轉前、后的圖形全等，可知△ABC≌△DEA，則AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出點E的坐標；根據對應點到旋轉中心的距離相等可知旋轉中心Q既在線段AD的垂直平分線上，又在線段BE的垂直平分線上，為此，作出線段AD與線段BE的垂直平分線，它們的交點即為Q；
（2）設直線AE的函數關系式為y=kx+b，將A、E兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出；
（3）①分兩種情況：（i）當點F在AD之間時，1＜x≤3，重疊部分是△PTF，由S_△PTF=TF•PT=AT•PT，可求出S與x之間的函數關系式；（ii）當點F在點D的右邊時，3＜x＜5，重疊部分是梯形PTDH，由S_梯形PTDH=（PT+HD）•TD，可求出S與x之間的函數關系式；
②分兩種情況：（i）1＜x≤3；（ii）3＜x＜5，由①中所求的S與x之間的二次函數關系式，根據二次函數的性質，結合自變量的取值范圍，即可求解；
③由于tan∠EAD=，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，則∠EPF≠90°，當△PEF為直角三角形時，分兩種情況進行討論：（i）當△PFE以點E為直角頂點時，作EF⊥AE交x軸于F，由△AED∽△EFD，根據相似三角形對應邊的邊相等列出比例式，即可求解；（ii）當△P′F′E以點F′為直角頂點時，由△AED∽△EF′D，根據相似三角形對應邊的邊相等列出比例式，即可求解．
點評：本題考查了旋轉的性質，線段垂直平分線的畫法，運用待定系數法求一次函數的解析式，圖形面積的求法，二次函數的性質，直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．運用數形結合及分類討論思想是解題的關鍵．