Question

拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先把A點坐標為（-1，0）代入拋物線y=

1

2

x²+bx-2即可求出b的值，進而可求出拋物線的解析式，再由拋物線的頂點式即可求出其頂點坐標；
（2）由兩點間的距離公式分別求出AC，BC，AB的長，再根據勾股定理即可判斷出△ABC的形狀．

解答：解：（1）A點坐標為（-1，0）代入拋物線y=

1

2

x²+bx-2得，
0=

1

2

×（-1）²-b-2，解得b=-

3

2

，
∴原拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴x=

3

2

，y=-

25

8

，
∴D點坐標為：（

3

2

，-

25

8

）；

（2）∵AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，（

3

2

，-

25

8

），△ABC是直角三角形．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題及勾股定理的逆定理，熟知坐標軸上各點坐標的特點及兩點間的距離公式是解答此題的關鍵．