Question

23、如圖1，四邊形ABCD是矩形，P是BC邊上的一點，連接PA、PD
（1）求證：PA²+PC²=PB²+PD²
（2）如圖2，當點A在矩形ABCD的內部時，連接PA、PB、PC、PD．上面的結論是否還成立？說明理由．
（3）當點A在矩形ABCD的外部時，連接PA、PB、PC、PD．上面的結論是否還成立？（不必說明理由）

Answer 1

分析：（1） 根據PA²-PB²=AB²=CD²=PD²-PC²，移項即可；
（2）過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F，可證四邊形ABFE和CDEF為矩形，則AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分別求PA²，PC²，PB²，PD²，再比較PA²+PC²與PB²+PD²即可；
（3）畫出圖形，把問題轉化到直角三角形中，由勾股定理分別求PA²，PC²，PB²，PD²．

解答：（1）證明：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PA²-PB²=AB²，
同理可得PD²-PC²=CD²，
由矩形的性質可得AB=CD，
∴PA²-PB²=PD²-PC²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）成立．
過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F，
則四邊形ABFE和CDEF為矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
則AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（3）成立．如圖，由勾股定理可證PA²+PC²=PB²+PD²．

點評：本題考察了勾股定理及矩形的性質．關鍵是作輔助線，構造直角三角形，利用勾股定理分別表示邊長的平方．