Question

如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點（點P與C、D不重合），三角板的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經過點A，另一直角邊與BC交于點E．
（1）△ADP與△PCE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程．
（2）當點P位于CD的中點時，求△PCE與△ADP的面積比．

Answer 1

分析：（1）由于∠APE是直角，易證得∠APD和∠CEP都是∠CPE的余角，所以這兩角相等，由此可證得這兩個直角三角形相似；
（2）若P是CD的中點，則CP：AD=1：2，即△CPE和△ADP的相似比是1：2；根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得兩三角形的面積比．

解答：解：（1）△ADP∽△PCE（1分）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°（2分）
∴∠DAP+∠DPA=90°（3分）
又∵∠APE=90°，
∴∠CPE+∠DPA=90°，（4分）
∴∠DAP=∠CPE（6分）
∴△ADP∽△PCE；（7分）

（2）當點P位于CD的中點時，DP=PC=

1

2

DC=

1

2

AD（8分）
∵△ADP∽△PCE，
∴

S△PCE

S△ADP

=

PC2

AD2

=

( 1 2 AD)2

AD2

=

1

4

．（10分）

點評：此題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的判定和性質．