Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C（0，﹣3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）求直線BC的函數表達式；
（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．
①當線段PQ= AB時，求tan∠CED的值；
②當以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．
溫馨提示：考生可以根據第（3）問的題意，在圖中補出圖形，以便作答．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴

∴b=﹣2

∵拋物線與y軸交于點C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

∴拋物線的函數表達式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：∵拋物線與x軸交于A、B兩點，

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0．

∴x1=﹣1，x2=3．

∵A點在B點左側，

∴A（﹣1，0），B（3，0）

設過點B（3，0）、C（0，﹣3）的直線的函數表達式為y=kx+m，

則 ，∴

∴直線BC的函數表達式為y=x﹣3；

（3）

解：

①∵AB=4，PQ= AB，

∴PQ=3

∵PQ⊥y軸

∴PQ∥x軸，

則由拋物線的對稱性可得PM= ，

∵對稱軸是直線x=1，

∴P到y軸的距離是 ，

∴點P的橫坐標為 ，

∴P（ ， ）

∴F（0， ），

∴FC=3﹣OF=3﹣ =

∵PQ垂直平分CE于點F，

∴CE=2FC=

∵點D在直線BC上，

∴當x=1時，y=﹣2，則D（1，﹣2），

過點D作DG⊥CE于點G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE﹣CG= ﹣1= ．

在Rt△EGD中，tan∠CED= ．

②P1（1﹣ ，﹣2），P2（1﹣ ，﹣ ）．

設OE=a，則GE=2﹣a，

當CE為斜邊時，則DG2=CGGE，即1=（OC﹣OG）（2﹣a），

∴1=1×（2﹣a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的縱坐標為﹣2，

把y=﹣2，代入拋物線的函數表達式為y=x2﹣2x﹣3得：x=1+ 或1﹣

∵點P在第三象限．

∴P1（1﹣ ，﹣2），

當CD為斜邊時，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的縱坐標為：﹣ ，

把y=﹣ ，代入拋物線的函數表達式為y=x2﹣2x﹣3得：x=1﹣ ，或1+ ，

∵點P在第三象限．

∴P2（1﹣ ，﹣ ）．

綜上所述：滿足條件為P1（1﹣ ，﹣2），P2（1﹣ ，﹣ ）．

【解析】已知C點的坐標，即知道OC的長，可在直角三角形BOC中根據∠BCO的正切值求出OB的長，即可得出B點的坐標．已知了△AOC和△BOC的面積比，由于兩三角形的高相等，因此面積比就是AO與OB的比．由此可求出OA的長，也就求出了A點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．