Question

【題目】在平面直角坐標系中，己知O為坐標原點，點A（3，0），B（0.4），以點A為旋轉中心，把△ABO順時針旋轉，得△ACD．記旋轉角為α．∠ABO為β．

（I ）如圖①，當旋轉后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標；

（II）如圖②，當旋轉后滿足BC∥x軸時，求α與β之間的數量關系：

（III）當旋轉后滿足∠AOD=β時，求直線CD的解析式（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）（，） （2）α=2β （3）y=x﹣4

【解析】

試題（1）∵點A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，

∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，

根據題意，有DA=OA=3．

如圖①，過點D作DM⊥x軸于點M，

則MD∥OB，

∴△ADM∽△ABO．有，

得，

∴OM=，

∴，

∴點D的坐標為（，）．

（2）如圖②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴在△ABC中，

∴α=180°﹣2∠ABC，

∵BC∥x軸，得∠OBC=90°，

∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，

∴α=2β；

（3）若順時針旋轉，如圖，過點D作DE⊥OA于E，過點C作CF⊥OA于F，

∵∠AOD=∠ABO=β，

∴tan∠AOD==，

設DE=3x，OE=4x，

則AE=4x﹣3，

在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，

∴9=9x2+（4x﹣3）2，

∴x=，

∴D（，），

∴直線AD的解析式為：y=x﹣，

∵直線CD與直線AD垂直，且過點D，

∴設y=﹣x+b，把D（，）代入得，=﹣×+b，

解得b=4，

∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于﹣1，

∴直線CD的解析式為y=﹣．

同理可得直線CD的另一個解析式為y=x﹣4．