Question

【題目】已知邊長為3的正方形ABCD中，點E在射線BC上，且BE=2CE，連接AE交射線DC于點F，若△ABE沿直線AE翻折，點B落在點B1處．

（1）如圖1，若點E在線段BC上，求CF的長；

（2）求sin∠DAB1的值；

（3）如果題設中“BE=2CE”改為“=x”，其它條件都不變，試寫出△ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關系式及自變量x的取值范圍（只要寫出結論，不需寫出解題過程）．

Answer 1

【答案】(1);(2) ① , ② ;(3)見解析.

【解析】分析：（1）利用平行線性質以及線段比求出CF的值；

（2）本題要分兩種方法討論：①若點E在線段BC上；②若點E在邊BC的延長線上．需運用勾股定理求出與之相聯的線段；

（3）本題分兩種情況討論：若點E在線段BC上，y=，自變量取值范圍為x＞0；若點E在邊BC的延長線上，y=，自變量取值范圍為x＞1．

詳解：（1）∵AB∥DF，

∴，

∵BE=2CE，AB=3，

∴，

∴CF=；

（2）①若點E在線段BC上，如圖1，設直線AB1與DC相交于點M．

由題意翻折得：∠1=∠2．

∵AB∥DF，

∴∠1=∠F，

∴∠2=∠F，

∴AM=MF．

設DM=x，則CM=3-x．

又∵CF=1.5，

∴AM=MF=-x，

在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，

∴32+x2=（-x）2，

∴x=，

∴DM=，AM=，

∴sin∠DAB1=；

②若點E在邊BC的延長線上，如圖2，設直線AB1與CD延長線相交于點N．

同理可得：AN=NF．

∵BE=2CE，

∴BC=CE=AD．

∵AD∥BE，

∴，

∴DF=FC=，

設DN=x，則AN=NF=x+．

在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，

∴32+x2=（x+）2，

∴x=．

∴DN=，AN=，sin∠DAB1=；

（3）y=，自變量取值范圍為x＞0；若點E在邊BC的延長線上，y=，自變量取值范圍為x＞1．