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如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,它與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(-1,0)、(0,2).
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△ABP面積的最大值.
(3)試探究:若點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸x=1上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)△BCQ是等腰三角形.在圖中作出符合條件的點(diǎn)Q的位置(保留作圖痕跡),并至少求出其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱性,可根據(jù)對(duì)稱軸解析式和A點(diǎn)坐標(biāo)求出B點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(2)P點(diǎn)在拋物線上方,且三角形ABP面積最大,那么P點(diǎn)縱坐標(biāo)最大,因此P點(diǎn)即為拋物線的頂點(diǎn),據(jù)此可求出P點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式求出此時(shí)三角形ABP的面積.
(3)本題有三種情況:
①Q(mào)C=QB,此時(shí)Q點(diǎn)為線段BC垂直平分線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn).
②QC=BC,以C為圓心,以BC長(zhǎng)為半徑作弧,交拋物線對(duì)稱軸于兩點(diǎn),這兩點(diǎn)均符合Q點(diǎn)的條件.
③QB=BC,以B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑作弧,交拋物線對(duì)稱軸于兩點(diǎn),這兩點(diǎn)也都符合Q點(diǎn)的條件.因此綜合三種情況共有五個(gè)符合條件的Q點(diǎn),可先設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo),然后用坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式表示出BC、BQ、CQ的長(zhǎng),然后根據(jù)三種情況中不同的等量關(guān)系來求出不同的Q點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1,且A(-1,0);
∴B(3,0);
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3);
已知拋物線過C(0,2),則有:
2=a(0+1)(0-3),
即a=-
∴函數(shù)解析式y(tǒng)=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+

(2)當(dāng)△ABP面積最大,且P在x軸上方時(shí),此時(shí)P點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn).
由(1)知:P(1,).
∴Smax=AB•yP=×4×=

(3)點(diǎn)Q共有五個(gè),其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)如:Q(1,2+2).
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、等腰三角形的判定等知識(shí).要注意(3)題中要將所有的情況都考慮到.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線的對(duì)稱軸是x=1,與x軸交于A、B兩點(diǎn),若B點(diǎn)的坐標(biāo)是(
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,0)
,則A點(diǎn)的坐標(biāo)
 

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(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式;
(2)若點(diǎn)P是此拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△ABP面積的最大值.

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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,它與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-l,0)、(0,
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),則:
(1)拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為
 

(2)若點(diǎn)P為此拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則△ABP面積的最大值為
 

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(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△ABP面積的最大值.
(3)試探究:若點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸x=1上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)△BCQ是等腰三角形.在圖中作出符合條件的點(diǎn)Q的位置(保留作圖痕跡),并至少求出其中一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1,它與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(-1,0)、(0,3)
(1)求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△ABP面積的最大值;
(3)若過點(diǎn)A(-1,0)的直線AD與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形的面積為6,求此直線的解析式.

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