Question

設關于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0的兩個實數根為x₁、x₂，現給出三個結論，則正確結論的個數是（　　）
①x₁≠x₂；②x₁x₂＜ab；③x₁²+x₂²＜a²+b²．

A．1

B．2

C．3

D．無法確定

Answer 1

分析：①可以利用方程的判別式就可以判定是否正確；
②根據兩根之積就可以判定是否正確；
③利用根與系數的關系可以求出x₁²+x₂²的值，然后也可以判定是否正確．

解答：解：①∵方程x²-（a+b）x+ab-1=0中，
△=[-（a+b）]²-4（ab-1）=（a-b）²+4＞0
∴①x₁≠x₂正確；

②∵x₁x₂=ab-1＜ab，
∴②正確；

（3）∵x₁+x₂=a+b，
即（x₁+x₂）²=（a+b）²，x₁²+x₂²+2x₁x₂=2ab+a²+b²，
∵x₁x₂＜ab，
∴x₁²+x₂²+2x₁x₂-2ab＜a²+b²，即x₁²+x₂²＜a²+b²，
∴③正確；
其中正確結論個數有3個；
故選：C．

點評：本題考查的是一元二次方程根的情況與判別式△的關系，及一元二次方程根與系數的關系，若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過來也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．