Question

（2013•萊蕪）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連結DE．
（1）證明DE∥CB；
（2）探索AC與AB滿足怎樣的數量關系時，四邊形DCBE是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）首先連接CE，根據直角三角形的性質可得CE=

1

2

AB=AE，再根據等邊三角形的性質可得AD=CD，然后證明△ADE≌△CDE，進而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可證明DE∥CB；
（2）當AC=

1

2

AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°進而得到∠B=30°，再根據三角函數可推出AC=

1

2

AB或AB=2AC．

解答：（1）證明：連結CE．
∵點E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，
∴CE=

1

2

AB=AE．
∵△ACD是等邊三角形，
∴AD=CD．
在△ADE與△CDE中，

AD=DC DE=DE AE=CE

，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE=∠CDE=30°．
∵∠DCB=150°，
∴∠EDC+∠DCB=180°．
∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，若四邊形DCBE是平行四邊形，則DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．
∴∠B=30°．
在Rt△ACB中，sinB=

AC

AB

，sin30°=

AC

AB

=

1

2

，AC=

1

2

AB或AB=2AC．
∴當AC=

1

2

AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形．

點評：此題主要考查了平行線的判定、全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定，關鍵是掌握直角三角形的性質，以及等邊三角形的性質．