Question

（12分）已知，平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OC在x軸正半軸上，邊OA在y軸正半軸上，B點的坐標為（4，3）．將△AOC沿對角線AC所在的直線翻折，得到△AO’C，點O’為點O的對稱點，CO’與AB相交于點E（如圖①）．

（1）試說明：EA＝EC；

（2）求直線BO’的解析式；

（3）作直線OB（如圖②），直線l平行于y軸，分別交x軸、直線OB、O’B于點P、M、N，設P點的橫坐標為m （m>0）。y軸上是否存在點F，使得ΔFMN為等腰直角三角形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）見解析； （2） （3）

【解析】

試題分析：（1）要想證EA＝EC，只需要證∠EAC=∠ACE即可，而由折疊的性質可得∠ACO=∠ACE，再根據矩形的性質可得∠EAC=∠ACO，可證；（2）先求得點O’的坐標，然后用待定系數法求函數解析式即可；

（3）用P點的橫坐標為m表示出點M、N的坐標及線段MN的長度，然后分情況討論解答即可.

試題解析：（1）由折疊得∠ACO=∠ACE，∵四邊形OABC是矩形，∴AB∥CO，∴∠EAC=∠ACO，∴∠EAC=∠ACE，∴EA＝EC；

（2）由題意得點O’的坐標為（，），設函數關系式為

∵圖象過點（，），（4，3）

，解得

∴函數關系式為①；

（3）∵B為（4，3），所以直線BO為②，∵l∥y軸，交x軸于P，P點的橫坐標為m，∴P（m，0）（m＞0），∴直線l的解析式為x=m③，解②③得M（m，）；解①②得：N（m，- m+6），∴MN=|- m+6|，Ⅰ）當∠FMN=90°且△FMN為等腰三角形時，F（0，），∴FM=MN，即：m=|- m+6|，解得：m=或m=12，Ⅱ）同理當∠FNM=90°且△FMN為等腰三角形時，F（0，- m+6），∴FN=MN，即：m=|-m+6|，解得：m= 或m=12，Ⅲ）當∠MFN=90°且△FMN為等腰三角形時，F（0，3），∴，,，而，所以，解得m=或m=-12（舍去）；綜上可知存在使得△FMN為等腰直角三角形的點F，此時m的值為.

考點：1.待定系數法求函數解析式；2.等腰三角形的判定；3.折疊的性質；4.勾股定理.