Question

如圖，⊙M的圓心M在x軸上，⊙M分別交x軸于點A、B（A在B的左邊），交y軸的正半軸于點C，弦CD∥x軸交⊙M于點D，已知A、B兩點的橫坐標分別是方程x²=4（x+3）的兩個根，
（1）求點C的坐標；
（2）求直線AD的解析式；
（3）點N是直線AD上的一個動點，求△MNB周長的最小值，并在圖中畫出△MNB周長最小時點N的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程求出兩個根，從而得到點A、B的坐標，然后求出點M的坐標與圓的半徑，連接CM，在Rt△CMO中，利用勾股定理列式求出OC的長度，即可寫出點C的坐標；
（2）過點M作ME⊥CD，根據垂徑定理可得CD=2CE=2OM，然后得到點D的坐標，再根據待定系數法即可求出直線AD的解析式；
（3）找出點M關于直線AD的對稱點，對稱點與點B連接交AD于點N，連接MN，根據軸對稱的性質，△MNB就是所要求作的周長最小的三角形，設直線AD與y軸相交于點F，連接FM，先利用直線AD的解析式求出點F的坐標，再根據勾股定理求出FM的長度，然后根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到點M的對稱點就是點C，再根據勾股定理求出BC的長度，也就是BN+MN，從而三角形的周長不難求出．
解答：解：（1）方程x²=4（x+3）整理得，
x²-4x-12=0，
即（x+2）（x-6）=0，
∴x+2=0，x-6=0，
解得x=-2，或x=6，
∴點A、B的坐標分別為：A（-2，0），B（6，0），
（-2+6）÷2=2，[6-（-2）]÷2=4，
∴點M的坐標是（2，0），⊙M的半徑是4，
連接CM，則OC===2，
∴點C的坐標是（0，2）；

（2）如圖1，過點M作ME⊥CD，
則CE=ED=CD，
∵CD∥x軸，
∴ME⊥x軸，
∴四邊形OMEC是矩形，
∴CE=OM=2，
∴CD=4，
點D的坐標是（4，2），
設直線AD的解析式是y=kx+b，
∴，
解得，
∴直線AD的解析式是y=x+；

（3）如圖2，設直線AD與y軸的交點是F，
當x=0時，y=×0+=，
∴點F的坐標是（0，），
在Rt△OMF中，FM===，
+=2，
∴點M關于直線AD的對稱點是點C，
連接BC交直線AD于點N，連接MN，則△MNB就是所要求作的周長最小的三角形，
此時，在△OBC中，BC===4，
△MNB周長=BN+CN+BM=BC+BM=4+4，
點N的位置如圖所示．
點評：本題綜合考查一次函數的問題，利用了一元二次方程的解法，矩形的性質，待定系數法求函數解析式，勾股定理，軸對稱的性質，綜合性較強，但難度不大，仔細分析圖形并熟練掌握定理與性質是解題的關鍵．