Question

（2000•內江）如圖，在直角坐標系xoy中，以原點為圓心的⊙O的半徑是，過A（0，4）作⊙O的切線交x軸于點B，T是切點，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（3，-），且拋物線過A、B兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果此拋物線的對稱軸交x軸于D點，問在y軸的負半軸上是否存在點P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據C點的坐標，用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入求解即可．
（2）先根據拋物線的解析式求出B點的坐標，然后可分兩種情況討論：
①當△BCD∽△BPO，那么；②當△BCD∽△PBO，則有；
根據上述兩種情況中不同的對應成比例線段可求出不同的符合條件的P點坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-3）²-，
已知拋物線過A點，則有：
a（0-3）²-=4，
解得a=
此拋物線的解析式為：y=（x-3）²-

（2）∵B（2，0）；C（3，-）；D（3，0）
∴BD=1，CD=，OB=2
∵要使△BCD∽△OPB
∴只需或
即：或
解得：OP=或4
∴P（0，-）或（0，-4）．
故：在y軸的負半軸上是否存在點P（0，-）或（0，-4），使△BCD∽△OPB．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點．（2）題要根據相似三角形的對應線段的不同分類進行求解，不要漏解．