Question

已知一元二次方程x²-4x+3=0的兩根是m，n且m＜n．如圖，若拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（m，0）、B（0，n）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C．根據圖象回答，當x取何值時，拋物線的圖象在直線BC的上方？
（3）點P在線段OC上，作PE⊥x軸與拋物線交于點E，若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）求出方程的解，得到B、A的坐標，代入拋物線得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）求出C的坐標，根據B、C的坐標求出即可；
（3）設直線BC交PE于F，P點坐標為（a，0），則E點坐標為（a，-a²-2a+3），根據三角形的面積求出F的坐標，設直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入求出直線BC，把F的坐標代入求出即可．

解答：解：（1）∵x²-4x+3=0的兩個根為  x₁=1，x₂=3，
∴A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（0，3），
又∵拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（1，0）、B（0，3）兩點，
∴

-1+b+c=0 c=3

得

b=-2 c=3

，
∴拋物線的解析式為  y=-x²-2x+3，
答：拋物線的解析式是 y=-x²-2x+3．

（2）作直線BC，
由（1）得，y=-x²-2x+3，
∵拋物線y=-x²-2x+3與x軸的另一個交點為C，令-x²-2x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=-3，
∴C點的坐標為（-3，0），
由圖可知：當-3＜x＜0時，拋物線的圖象在直線BC的上方，
答：當-3＜x＜0時，拋物線的圖象在直線BC的上方．

（3）設直線BC交PE于F，P點坐標為（a，0），則E點坐標為（a，-a²-2a+3），
∵直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分，
∴F是線段PE的中點（根據等底等高的三角形的面積相等），
即F點的坐標是（a，

-a2-2a+3

2

），
∵直線BC過點B（0.3）和C（-3，0），
設直線BC的解析式是y=kx+b，代入得：

3=b 0=-3k+b

，
∴

k=1 b=3

∴直線BC的解析式為y=x+3，
∵點F在直線BC上，
∴點F的坐標滿足直線BC的解析式，
即

-a2-2a+3

2

=a+3
解得  a₁=-1，a₂=-3（此時P點與點C重合，舍去），
∴P點的坐標是（-1，0），
答：點P的坐標是（-1，0）．

點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數的解析式，二次函數與X軸的交點，解一元二次方程，解二元一次方程組，三角形的面積等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．