Question

【題目】如圖1所示，已知拋物線的頂點為D，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，E為對稱軸上的一點，連接CE，將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后，點C的對應點C′恰好落在y軸上．

（1）直接寫出D點和E點的坐標；

（2）點F為直線C′E與已知拋物線的一個交點，點H是拋物線上C與F之間的一個動點，若過點H作直線HG與y軸平行，且與直線C′E交于點G，設點H的橫坐標為m（0＜m＜4），那么當m為何值時，=5：6？

（3）圖2所示的拋物線是由向右平移1個單位后得到的，點T（5，y）在拋物線上，點P是拋物線上O與T之間的任意一點，在線段OT上是否存在一點Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（2，9），E（2，3）；（2），；（3）（1，1）或（3，3）或（2，2）．

【解析】

試題分析：（1）把拋物線配方，即可得到頂點為D的坐標，然后設點E的坐標是（2，m），點C′的坐標是（0，n），根據△CEC′是等腰直角三角形，求出E點的坐標；

（2）令拋物線的y=0，可求得A、B的坐標，然后再根據=5：6，得到：，然后再證明△HGM∽△ABN，，從而可證得，所以HG=5，設點H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），最后根據HG=5，列出關于m的方程求解即可；

（3）分別根據∠P、∠Q、∠T為直角畫出圖形，然后利用等腰直角三角形的性質和一次函數的圖象的性質求得點Q的坐標即可．

試題解析：（1）∵拋物線=，∴D點的坐標是（2，9），∵E為對稱軸上的一點，∴點E的橫坐標是2，設點E的坐標是（2，m），點C′的坐標是（0，n），∵將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后，點C的對應點C′恰好落在y軸上，∴△CEC′是等腰直角三角形，∴，解得：或（舍去），∴點E的坐標是（2，3），點C′的坐標是（0，1）．

綜上，可得D點的坐標是（2，9），點E的坐標是（2，3）．

（2）如圖1所示：

令拋物線的y=0得：，解得：，，所以點A（﹣1，0），B（5，0）．設直線C′E的解析式是，將E（2，3），C′（0，1），代入得，解得：，∴直線C′E的解析式為，聯立得：，解得：，或，∴點F得坐標為（4，5），點A（﹣1，0）在直線C′E上．∵直線C′E的解析式為，∴∠FAB=45°．過點B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分別為N、M．∴∠HMN=90°，∠ADN=90°，又∵∠NAD=∠HNM=45°，∴△HGM∽△ABN，∴，∵=5：6，∴．∴，即，∴HG=5．設點H的橫坐標為m，則點H的縱坐標為，則點G的坐標為（m，m+1），∴．解得：，；

（3）由平移的規律可知：平移后拋物線的解析式為=．將x=5代入得：y=5，∴點T的坐標為（5，5）．設直線OT的解析式為，將x=5，y=5代入得；k=1，∴直線OT的解析式為，

①如圖2所示：當PT∥x軸時，△PTQ為等腰直角三角形，

將y=5代入拋物線得：，解得：，．∴點P的坐標為（1，5）．將x=1代入得：y=1，∴點Q的坐標為（1，1）；

②如圖3所示：

由①可知：點P的坐標為（1，5）．∵△PTQ為等腰直角三角形，∴點Q的橫坐標為3，將x=3代入得；y=3，∴點Q得坐標為（3，3）；

③如圖4所示：

設直線PT解析式為，∵直線PT⊥QT，∴k=﹣1，將k=﹣1，x=5，y=5代入得：b=10，∴直線PT的解析式為．聯立得：，解得：，，∴點P的橫坐標為2，將x=2代入得，y=2，∴點Q的坐標為（2，2）．

綜上所述：點Q的坐標為（1，1）或（3，3）或（2，2）．