Question

如圖，在△ABC中 BC=7cm  AC=24cm AB=25cm P點(diǎn)在BC上從B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括C點(diǎn)），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，Q點(diǎn)在AC上從C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不包括A點(diǎn)），速度為5cm/s，若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)．求：
①經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，S_△PCQ=15cm²？
②何時(shí)S_△PCQ最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：①先利用勾股定理的逆定理判定△ABC為直角三角形；設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，利用x表示出PC、CQ的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式表示出△PCQ的面積，令其等于15即可列出關(guān)于x的方程，解方程即可；
②利用①中所求表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
解答：解：①∵7²+24²=25²，
∴△ABC為直角三角形，
設(shè)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，
則 S_△PCQ=×（7-2x）×5x=-5x²+，
根據(jù)題意得：15=-5x²+，
解得：x₁=2，x₂=．
可見，經(jīng)過2秒或秒時(shí)，S_△PCQ=15cm²．

 ②∵S_△PCQ=×（7-2x）×5x=-5x²+=-5（x-）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)S_△PCQ最大，最大面積是cm²．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理、二次函數(shù)的最值及三角形的面積，用時(shí)間表示出三角形各邊長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．