Question

已知：如圖，梯形ABCD中AB∥CD，AB=5，BC=4，DC=2，以BC邊上的點O為圓心，OD為半徑的圓恰好與邊AB相切于點B
（1）求⊙O的半徑；
（2）AD是否為⊙O的切線？請你作出判斷，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB與圓O相切，
∴BC⊥AB，
∵DC∥AB，
∴DC⊥BC，
在Rt△COD中，設OD=OB=x，則OC=BC-OB=4-x，CD=2，
根據勾股定理得：x²=（4-x）²+2²，
解得：x=2.5，
則圓O的半徑為2.5；

（2）AD為圓O的切線，理由為：
連接OA，過D作DE⊥AB，可得四邊形CDEB為矩形，
則DC=AB=2，DE=CB=4，AE=AB-EB=5-2=3，
∵在Rt△ADE中，根據勾股定理得：AD==5，
∴AD=AB，
∵在△AOD與△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（SSS），
∴∠ODA=∠OBA=90°，
則AD為圓O的切線．
分析：（1）由AB與圓相切，得到BC與AB垂直，而CD與AB平行，得到CD與BC垂直，由OB+OC=BC=4，設OB=OD=x，則OC=4-x，再由CD的長，在直角三角形COD中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑；
（2）AD為圓O的切線，理由為：連接OA，過D作DE垂直于AB，可得出DE=BC=4，AE=AB-BE=AB-CD=3，根據勾股定理得到AD=AB=5，再由AO為公共邊，OD=OB，利用SSS得到三角形AOD與三角形AOB全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠ODA=∠OBA=90°，即可確定出AD為圓的切線．
點評：此題考查了切線的判定與性質，涉及的知識有：勾股定理，全等三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，利用了方程的思想，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．