Question

操作發現

將一副直角三角板如圖（1）擺放,能夠發現等腰直角三角板ABC的斜邊BC與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合.

問題解決

將圖（1）中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30°,點C落在BF上.AC與BD交于點O,連接CD,如圖（2）.

(1)求證:△CDO是等腰三角形;

(2)若DF=8,求AD的長.

Answer 1

分析：(1)只要通過證明∠CDO=∠COD就可得到△CDO是等腰三角形.利用BC=BD，

∠DBC=30°,求出∠BDC=∠BCD=75°,而∠COD=45°+30°=75°，從而得出∠CDO

∠COD.

(2)過點D，A分別作出△BDF與△ABC的高，將梯形分成兩個直角三角形和一個矩形后，利用解直角三角形和矩形的性質等知識求解.

(1)證明：由題圖（1）知BC=DE,∴ ∠BDC=∠BCD.

∵ ∠DEF=30°,∴ ∠BDC=∠BCD=75°.

∵ ∠ACB=45°,∴ ∠DOC=30°+45°=75°.∴ ∠DOC=∠BDC.

∴ △CDO是等腰三角形.

(2)解：如圖，過點A作AG⊥BC,垂足為點G,過點D作DH⊥BF,垂足為點H.

在Rt△DHF中,∠F=60°,DF=8,∴ DH=4,HF=4.

在Rt△BDF中,∠F=60°,DF=8,∴ BD=8,BF=16.

∴ BC=BD=8.

∵ AG⊥BC,∠ABC=45°,∴ BG=AG=4,∴ AG=DH.

∵ AG∥DH,∴ 四邊形AGHD為矩形.∴ AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4.