Question

操作發現
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發現等腰直角三角板ABC的斜邊與含30°角的直角三角板DEF的長直角邊DE重合．
問題解決
將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點B順時針旋轉30°，點C落在BF上，AC與BD交于點O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得BC=DE，進而得到∠BDC=∠BCD，再根據三角形內角和定理計算出度數，然后再根據三角形內角與外角的性質可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，進而算出度數，根據角度可得△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足為點G，DH⊥BF，垂足為點H，首先根據∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，進而得到BC=8，再根據等腰三角形的性質可得BG=AG=4，證明四邊形AGHD為矩形，根據線段的和差關系可得AD長．
解答：解；（1）由圖①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°，
∴∠DOC=∠BDC，
∴△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足為點G，DH⊥BF，垂足為點H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4，
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16，
∴BC=BD=8，
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=4，
∴AG=DH，
∵AG∥DH，
∴四邊形AGHD為矩形，
∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4．
點評：此題主要考查了等腰三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，以及三角函數的應用，關鍵是掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．