Question

如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是（ ）

A．
B．4.75
C．5
D．4.8

Answer 1

【答案】分析：設(shè)EF的中點(diǎn)為O，圓O與AB的切點(diǎn)為D，連接OD，連接CO，CD，則有OD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三邊關(guān)系知，CO+OD＞CD；只有當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí)，OC+OD=EF有最小值為CD的長(zhǎng)，即當(dāng)點(diǎn)O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，EF=CD有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時(shí)CD=BC•AC÷AB=4.8．
解答：解：如圖，∵∠ACB=90°，
∴EF是直徑，
設(shè)EF的中點(diǎn)為O，圓O與AB的切點(diǎn)為D，連接OD，CO，CD，則OD⊥AB．
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴∠ACB=90°，
∴EF為直徑，OC+OD=EF，
∴CO+OD＞CD，
∵當(dāng)點(diǎn)O在直角三角形ABC的斜邊AB的高上CD時(shí)，EF=CD有最小值
∴由三角形面積公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了切線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形的三邊關(guān)系，直角三角形的面積公式求解．