Question

已知，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，等腰直角三角形BEF的斜邊在AB上，點G是AF的中點，聯結EG，CG，求證：EG⊥CG．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：作GH⊥AB，垂直是G，根據勾股定理證明EF=CH，然后證明△GEF≌△GCH，根據全等三角形的對應邊相等即可證得∠EGF=∠CGH，進而證明垂直關系．

解答： 證明：作GH⊥AB，垂直是G．
則△AGH是等腰直角三角形，
∴AG=GH，
設AC=CB=a，BE=EF=b．
由勾股定理可得：AB=

2

a，BF=

2

b．
又∵點G是AF的中點，
∴GF=GH=AG=

2

2

（a-b）．
在直角△AGH中，AH=a-b，
∴CH=AC-AH=a-（a-b）=b，又EF=b，
∴GF=CH，∠GFE=135°，∠GHC=135°，
在△EGF和△GCH中，

GF=EF ∠EFE=∠GHC GF=GH

∴△GEF≌△GCH（SAS），
∴∠EGF=∠CGH，
∴∠EGC=∠EGF+∠FGC=∠CGH+∠FGC=90°，
∴EG⊥CG．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理，正確作出輔助線，構造全等的三角形是關鍵．